Coordonnées d'un vecteur

Déterminer graphiquement les coordonnées d'un vecteur dans le plan rapporté à un repère orthogonal

On considère un vecteur \(\vec{AB}\) dans le plan rapporté à un repère orthogonal. Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour origine le point \(A\) et pour extrémité le point \(B\).

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) 

• Tracer le triangle rectangle \(ABC\) en plaçant le point \(C\) au niveau de l'angle droit.
• Positionner son crayon sur l'origine du vecteur (ici le point \(A\)).
  
• Déplacer son crayon horizontalement jusqu'au point \(C\) et noter le nombre de carreaux de déplacement (ici 3 carreaux) vers la droite (signe positif). On obtient l'abscisse qui est "+3".
  
• Déplacer son crayon verticalement jusqu'au point \(B\) et noter le nombre de carreaux de déplacement (ici 2 carreaux) vers la haut (signe positif). On obtient l'ordonnée qui est "+2".
  
• Les coordonnées du vecteurs sont \(\overrightarrow{AB}(3;2)\).
  

 Attention

• Pour des déplacements horizontaux vers la gauche, le signe est négatif.
  
• Pour des déplacements verticaux vers le bas, le signe est négatif.

Calculer les coordonnées d'un vecteur connaissant les coordonnées des points d'origine et d'extrémité

``Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on considère deux points \(A\) et \(B\) de coordonnées \(A (x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\).

Formule : les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) sont données en appliquant la relation : \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)\).``

Exemple

On considère un point \(A(4;6)\) et un point \(B(1;5)\).

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées :

\(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)\)

\(\overrightarrow{AB}(1-4;5-6)\)

\(\overrightarrow{AB}(-3;-1)\)

Reconnaître des vecteurs égaux ou colinéaires à partir de leurs coordonnées

On considère deux vecteurs \(\vec{AB} (x_A ; y_A)\) et \(\vec{CD} (x_B;y_B)\).

Définitions

• Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont identiques, autrement dit si \(x_A = x_B\) et si \(y_A = y_B\).
• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{CD} = k \times\vec{AB}\) .

Exemple

On considère les vecteurs\(\vec{AB}(2;3)\) et \(\vec{CD}(4;6)\).

On constate que \(\vec{CD} = 2\times \vec{AB}\).

Les vecteurs \(\vec{CD}\) et \(\vec{AB}\) sont donc colinéaires.

Ils ont la même direction et le même sens car \(k>0\).``